Bir A kare matrisinin özdeğerlerini ve özvektörlerini hesaplamak, \(\lambda\) nın özdeğer ve \(x\) in özvektör olduğu \(Ax = \lambda x\) denkleminin çözümlerini bulmayı içerir. Özdeğerleri ve özvektörleri bulmak için adımlar:

1. 1.\(I\) birim matrisi için, \(A - \lambda I\) matrisinin determinantı hesaplanır. \(A - \lambda I\) nın determinantı, A matrisinin karakteristik polinomu olarak bilinir.
2. 2.Determinant sıfıra eşitlenir ve \(\lambda\) için çözüm bulunur. Bu denklemi sağlayan \(\lambda\) değerleri, A matrisinin özdeğerleridir.
3. 3.Her bir \(\lambda\) özdeğeri için \((A - \lambda I)x = 0\) denklemi çözülerek, bu özdeğere karşılık gelen özvektörler bulunur. Bu işlem, \(A - \lambda I\) matrisinin çekirdeğini (sıfır uzayı) bulma işlemine eşdeğerdir.
4. 4.Özvektörler uzunluklarına bölünerek normalize edilir, böylece birim özvektörler elde edilir.

Alternatif olarak, özdeğerleri ve özvektörleri bulmak için farklı yöntemler vardır, bu yöntemler:

1. 1.Kuvvet Yöntemi: Bu yöntem, A matrisini rastgele bir vektörle tekrar tekrar çarparak özvektöre yakınsayana kadar devam eder. Özdeğer, Rayleigh bölümü kullanılarak hesaplanabilir.
2. 2.QR Algoritması: Bu yöntem, A matrisine bir dizi QR ayrışımı uygulayarak A'yı köşegenleştirir ve özdeğerleri köşegen üzerinde bulundurur. Özvektörler daha sonra yerine koyma yöntemiyle elde edilebilir.
3. 3.Jacobi Yöntemi: Bu yöntem, A matrisine bir dizi ortogonal dönüşüm uygulayarak A'yı köşegenleştirir ve özdeğerleri köşegen üzerinde bulundurur. Özvektörler daha sonra ortogonal matrisin sütunları çıkarılarak elde edilebilir.

Önemli bir not olarak, tüm matrislerin özdeğerleri ve özvektörleri olmayabilir ve bazı matrislerin tekrarlayan özdeğerleri veya gerçel olmayan özdeğerleri olabilir. Ayrıca, bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri analitik olarak hesaplamak her zaman kolay olmayabilir, özellikle büyük matrisler için. Bu durumlarda, özdeğerleri ve özvektörleri yaklaşık olarak hesaplamak için sayısal yöntemler kullanılabilir.